教授认为中村的连胜在统计学上很正常，克拉姆尼克则不这么认为

一位世界顶级统计学家的最新研究发现，特级大师 Hikaru Nakamura 在 Chess.com 上与高水平对手的出色战绩完全在预期范围内。特级大师 Vladimir Kramnik 强烈批评了这份报告，称其“完全荒谬”，并指责 Chess.com“明显存在操纵行为”。

Jeffrey S. Rosenthal 是多伦多大学的统计学教授，也是全球公认的概率和统计学专家。他是多部广受好评的书籍的作者，例如《闪电击中：奇妙的概率世界》，并因其向公众解释复杂统计概念的能力而闻名。他还对国际象棋有着终生的热爱，并将国际象棋作为业余爱好。

罗森塔尔的结论：“并不特别令人惊讶”

这位加拿大教授发布了一篇新的 12 页论文，题为《在线国际象棋连胜概率》，这篇论文是响应 Chess.com 的建议而撰写的。在这项研究中，他根据美国特级大师 2014 年至 2024 年在该平台上进行的 57,421 场比赛，对中村的连胜进行了细致分析。罗森塔尔指出，他的研究应该被视为对不可能连胜的调查，而不是在线国际象棋作弊的更广泛问题。

在对中村的表现进行详细分析时，罗森塔尔重点分析了他在在线快棋比赛中取得的 45.5/46 的连胜纪录：“这项统计分析表明，光在网上国际象棋比赛中取得的连胜纪录并不特别令人惊讶。他最近备受争议的 46 连胜纪录完全在预期范围内，”罗森塔尔在他的研究中总结道。

这项统计分析表明，Hikaru 的在线象棋连胜纪录并不特别令人惊讶。他最近备受争议的 46 连胜纪录完全在预期范围内。

— 杰弗里·罗森塔尔 (Jeffrey Rosenthal)，多伦多大学统计学教授

中村现居世界第二，在古典赛和快棋赛中均位居第二。去年，克拉姆尼克 (Vladimir Kramnik) 对他进行了严厉的审查。这位前世界冠军质疑中村的连胜纪录，并含糊其辞地说：“我相信每个人都会觉得这很有趣。”克拉姆尼克呼吁进一步调查这种连胜的可能性，尽管他没有明确指责中村作弊，但全球国际象棋界已将克拉姆尼克的言论解读为明显的暗指作弊。

Kramnik 在 Chess.com 的一篇博客文章中写道：

仔细检查了 Hikaru 的统计数据后，我发现他和他的一些对手都有很多低概率的表现。根据数学家的说法，其中一些数学概率极低。根据那些专业数学家的计算，远低于百分之一。

罗森塔尔：“看似稀有的东西并不一定稀有”

然而，罗森塔尔的研究发现，中村的连胜纪录虽然很出色，但完全符合他这种水平的棋手的统计预期。“在正确的背景下看待事情，看似非常罕见的事情并不一定非常罕见，”罗森塔尔在接受 Chess.com 采访时解释道。

如果你在正确的背景下看待某些事物，那么它们看起来确实非常罕见，但实际上并不一定非常罕见。

—杰弗里·罗森塔尔

罗森塔尔使用 Elo 评分系统计算了此类连胜自然发生的可能性。他指出，中村光的 45.5/46 连胜的概率约为 830 分之一，考虑到他在 50,000 多场比赛中的机会次数，这个概率并不大。

57,421 场比赛序列大约有 57,421/46 ≈ 1,248 种不同的、不重叠的独立机会来实现该长度的连续性，因此以 1/830 的概率找到连续性实际上是非常有可能的。

中村俊辅最引人注目的成绩分析

该研究还分析了中村连续获胜的概率，连续获胜的连续获胜是指连续几局不输，最多平局一局。罗森塔尔发现，中村连续获胜的连续获胜场次总计有 226 场，最长的有 121 场。

中村俊辅在这些比赛中的平均对手得分不到 1,600 分，罗森塔尔指出，长期连续得分并不一定是不可能的：“他在这 121 场比赛中至少得到 120.5 分的概率为 1/8.9，这并不是特别不可能。”

根据罗森塔尔的研究，在 Nakamura 最引人注目的连续上垒记录中，只有两次出现的可能性比他的 45.5/46 的得分要小得多：“这些是极不可能发生的事情，9,000 次连续上垒中只有一次的概率，或者 11,000 次连续上垒中只有一次的概率......大约 43% 的时间里，至少会出现一次这样的连续上垒记录，”罗森塔尔表示，他指的是下表中的第 4 行和第 6 行。

为了进一步验证连胜纪录，罗森塔尔教授进行了蒙特卡罗模拟，这是一种使用重复随机抽样来估计不同结果可能性的方法。通过根据中村的等级分和对手的等级分模拟数千场随机比赛，罗森塔尔发现，实现 45.5/46 这样的连胜纪录的概率实际上是相当合理的。

在每次模拟中，罗森塔尔记录下与中村实际比赛结果相符或超过的连胜长度和频率。结果提供了连胜长度和频率的分布，罗森塔尔随后将其与中村的实际表现进行比较。

罗森塔尔指出：

我们从图中可以看出，虽然实际值 11,570.6 和 9,452.1 大于许多模拟的最大 1/概率值，但也有许多模拟的 1/概率值比这大得多。事实上，最大的模拟 1/概率值超过 284,000，平均模拟 1/概率值超过 26,000，甚至中位数模拟 1/概率值也是 10,461.92，接近 Hikaru 的 11,570.6 值。事实上，在 100 次模拟中，有 43 次（接近一半）最不可能的连胜比观察到的 1/11570.6 连胜的可能性更小。这进一步证实，在如此长的一系列比赛中，Hikaru 的最不可能连胜并不令人惊讶。

事实上，在 100 次模拟中，有 43 次（接近一半）最不可能连续出现的情况比观察到的 1/11570.6 还要小。这进一步证实了 Hikaru 在如此长的游戏中出现的最不可能连续出现并不令人意外。

—杰弗里·罗森塔尔

教授在结论中指出，尽管中村最不可能连续获胜的原始概率约为 1/10,000，但在如此多的比赛中实现这种连续获胜的概率仍然高于 10%，蒙特卡洛模拟中的概率约为 43%：换句话说，可能性不大。

出现两次如此显著的连胜的概率较小，但仍有 18% 的概率，完全在通常的统计变异范围内。总体而言，考虑到 Hikaru 长期比赛记录中玩家的评分，Hikaru 在 Chess.com 记录中观察到的连胜相当典型。

克拉姆尼克的回应：“完全荒谬”

虽然研究结果表明中村的连胜在统计学上是正常的，但克拉姆尼克强烈否认了这项研究。在回应 Chess.com 就此事发表评论的请求时，这位前世界冠军发送了几封电子邮件，称这是“一份荒谬、毫无意义的报告”、“一个笑话”和“令人作呕”。

“恕我直言，这项‘研究’只是又一种操纵。我可以坚持我的说法，并在与这位先生的直接交谈中证明这一点。我认为他被误导了，或者对国际象棋了解不多，”克拉姆尼克在谈到罗森塔尔时说道。

恕我直言，这项“研究”只是另一种操纵。我可以坚持我的说法，并在与这位先生的直接交谈中证明这一点。我认为他被误导了，或者对国际象棋了解不多。

— 前世界冠军弗拉基米尔·克拉姆尼克 (Vladimir Kramnik)

他进一步声称，这位教授在研究中至少犯了“五个重大错误”，比如在分析连胜时混合使用不同的时间控制，以及使用 Elo 评级系统来计算 Chess.com 的 Glicko 系统的概率。“这是一个基本的原始错误。它让整个研究都错了。这真的很荒谬。相信我。”

克拉姆尼克还指责 Chess.com 的首席执行官埃里克·阿勒贝斯特 (Erik Allebest) 存在“明显的操纵行为”，暗示他故意向教授提供“完全错误的数据”。他向罗森塔尔发起挑战，要求进行现场讨论，就研究结果展开辩论，并表示他已经录制了一段 YouTube 视频，更深入地阐述了他的批评。

结论与独立分析一致

罗森塔尔的研究结果得到了两项独立研究结论的支持。Shiva Maharaj、Nick Polson 和 Vadim Sokolov 进行的“克拉姆尼克 vs 中村或贝叶斯 vs p 值”研究使用贝叶斯方法分析了中村的表现。他们的分析得出结论，中村作弊的可能性极低。

由软件工程师 Kiril Bobyrev 进行的另一项独立分析也得出结论：“在 Chess.com 上的在线快棋比赛中，顶级选手的连胜在统计上并非不可能”。

上周，美国统计学教授肯尼斯·里根 (Kenneth Regan) 也对克拉姆尼克在 X/Twitter 上的多篇帖子进行了评论：“这些帖子没有标准化。他没有采用建立参考基准所需的统计技术，而我有。我有一个预测分析模型，我设定了期望值，我知道它们的置信区间。这些都是自 18 世纪以来就为人所知的基本统计词汇，但他的帖子中却没有提到这些词汇，”他在 Clash of Blames 节目播出期间说道。

多伦多大学与罗森塔尔合作发布了他们自己的视频。

杰弗里·罗森塔尔指出，他没有从 Chess.com 获得任何报酬。